图1

1．梨形测头曲面的数学模型

　　测量过程对梨形测头曲面有两点基本要求：（1）在测量范围内，任意两点之间的直线长度应有与之对应的一段弧长；（2）被测长度在曲面与被测平面的切点的法线上。由此可以判断，梨形曲面应是一段渐开线的旋转面，渐开线的基圆圆心在测杆的转轴上，基圆半径为测杆的理论长度，而测杆理论长度则应在消除了原测杆正弦机构理论误差的情况下重新计算出来。
　　梨形测头在基圆以内的部分仍然采用球面，其半径为S_r，但该球面应与渐开线旋转面吻合连接。
　　（1）基圆半径R_d（即测杆长度）的计算
　　杠杆表测头在图2所示位置时，有

S＝αR／sinα＝c／sin（β－α）          （1）
β＝arcsin［（c／b)sin（S／R_d）］＋S／R_dd
b

式中　S——杠杆表量程
　　　α——测杆转过的弧度
　　　β——扇形齿轮转过的弧度

图2

　　由图2所示传动关系β／2π＝Z₁／Z_f，Z₁／Z_x＝Z₂／Z_e可得

Z₁＝βZ／2π
Z₂＝βZ／2πZ_xfZ_ef

式中　Z_f——扇形齿轮齿数
　　　Z_x——轴齿轮齿数
　　　Z_e——端面齿轮齿数
　　　Z_n——指针轴齿轮齿数
　　　Z₁——Z_f与Z_x啮合的齿数
　　　Z₂——Z_e与Z_n啮合的齿数
若杠杆表指针转过的弧度数为rad，则有

rad＝2πZ₂／Z_n＝βZ／Z_xZ_nfZ_e

令rad＝2π，则有

β＝2πZ_xZ_n／Z_fZ_e

将上式与（1）式比较可得

　　arcsin［（c／b）sin（S／R_d）］＋S／R_d＝2πZ_xZ_n／Z_fZ_e
或　（c／b）sin（S／R_d）－sin［（2πZ_xZ_n／Z_fｓ_e）－（S／R_d）］＝0      （2）

图3

θ＝arctg（S_r／R_d）
　　A＝（π／2）－θ＝（π／2）－arctg（S_r／R_d）

　　梨形曲面的极坐标方程为

ρ＝R_d／cost
invt＝tgt－ｓ

式中　ρ——极径
　　　t——压力角（rad）
　　　invt——展开角（极角）
　　（3）球面半径S_r的计算
　　如图1所示，如果设定允许测杆偏离轴线的角度为t₀，则

θ₀＝tgt₀－t₀
S_r＝R_dtgθ₀＝R_dtg（tgt₀－t₀）

　　注意：测头根部半径为S_r的球面的球心高于基圆。

2．渐开线型面坐标点的计算

　　渐开线型面的直角坐标方程为

求渐开线型面坐标点的Qbasic程序如下：
　　10　INPUT　Rd，Sr
　　20　LET　A＝ATN（1）?2－ATN（Sr／Rd）
　　30　PRINT　“t”，“x”，“y”
　　40　FOR　t＝0　TO　1　STEP　0．01
　　50　LET　p＝Rd／COS（t）
　　60　LET　INVt＝TAN（t）－t
　　70　LET　x＝p?COS（INVt＋A）
　　80　LET　y＝p?SIN（INVt＋A）
　　90　PRINT　t，x，y
　　100　IF　x＝0　THEN　120
　　110　NEXT　t
　　120　END
　　利用此程序求梨形测头顶点的方法如下：运行一次程序后，用倒数第二个t值代替第40语句中“＝”号后的数，并把“STEP”后的数乘以0．01。如此反复操作，直至y值在万分位之前不发生变化为止。这一y值就是顶点M（0，Y_max）中的Y_max值。然后用求极值的方法求X_max，计算公式为

　　令，则

sin（tgt－t＋A）tgt＝cos（tgt－t＋A）

　　从而解出

　　代入（3）式得

　　由此可求出梨形测头的腰径为

φ＝2R_darctg（S_r／R_d）＝2R_darctg［tg（tgt_o－t_o）］＝2R_d（tgt_o－t_o）

　　为便于在数控车床上加工梨形测头，在程序的40语句中选择适当的STEP的值，得到60多个坐标点，并将含有X_max的N点和含有Y_max的M点纳入其中，在设计图上制成表示坐标点的表格。最后在视图上标出与梨形测头的顶点、腰径和渐开线基圆等有关的其它尺寸。